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韦达定理:解析几何中的弦长公式

来源:第一公式网 2024-04-27 05:20:50

  韦达定理是解析几何中的个重要定理,它可以用来求解圆的弦长原文www.ningbojuejia.com。在本文中,我们将详细介绍韦达定理的定义、推导过以及应用。

韦达定理:解析几何中的弦长公式(1)

、韦达定理的定义

  韦达定理是指:在圆上任取点P,过P点作两条弦AB、CD,交于点E,那么以下等式成立:

  PA·PB=PC·PD

  其中,PA、PB、PC、PD分别表示点P到弦AB、弦CD的距离Dax

韦达定理:解析几何中的弦长公式(2)

二、韦达定理的推导过

  为了方便推导,我们设圆的方为(x-a)²+(y-b)²=r²,点P的坐标为(x₀,y₀),弦AB的方为y=kx+m,弦CD的方为y=k'x+m'。

  首先,我们可以到点P到弦AB的距离PA的公式

  PA=|kx₀-y₀+m|/√(k²+1)

同理,点P到弦CD的距离PD的公式为:

PD=|k'x₀-y₀+m'|/√(k'²+1)

  接下来,我们需要证明PA·PB=PC·PD欢迎www.ningbojuejia.com

由于弦AB的方为y=kx+m,所以点A、B的坐标分别为:

  A(2ak/(1+k²)-a,2am/(1+k²)-b)

  B(2ak/(1+k²)-a,2am/(1+k²)-b)

  同理,弦CD的方为y=k'x+m',所以点C、D的坐标分别为:

  C(2ak'/(1+k'²)-a,2am'/(1+k'²)-b)

  D(2ak'/(1+k'²)-a,2am'/(1+k'²)-b)

然后,我们可以计算出PA·PB和PC·PD的值:

PA·PB=[(2ak/(1+k²)-x₀)²+(2am/(1+k²)-y₀)²-r²][(2ak/(1+k²)-x₀)²+(2am/(1+k²)-y₀)²-r²]

  PC·PD=[(2ak'/(1+k'²)-x₀)²+(2am'/(1+k'²)-y₀)²-r²][(2ak'/(1+k'²)-x₀)²+(2am'/(1+k'²)-y₀)²-r²]

将PA、PB、PC、PD的公式代入上式中,然后将其化简,终可以到:

PA·PB-PC·PD=[(k-k')x₀-(k'm-km')]²

因为点P、E、A、B构成的四边形是平行四边形,所以PA=BE,PB=AE。同理,点P、E、C、D构成的四边形是平行四边形,所以PC=ED,PD=EC原文www.ningbojuejia.com。因此,我们可以到:

  PA·PB-PC·PD=AE·BE-EC·ED

将AE、BE、EC、ED的值代入上式中,可以到:

PA·PB-PC·PD=[(k-k')x₀-(k'm-km')]²=(k-k')²[(x₀-a)²+(y₀-b)²-r²]

  因为(x-a)²+(y-b)²=r²,所以

PA·PB-PC·PD=(k-k')²r²

因此,我们可以到韦达定理的公式:

  PA·PB=PC·PD

韦达定理:解析几何中的弦长公式(3)

三、韦达定理的应用

韦达定理可以用来求解圆的弦长。例如,如果我们知圆的半径r、圆坐标(a,b)和弦AB的斜k,那么我们可以通过韦达定理求解弦长ABningbojuejia.com

  首先,我们可以根据弦的斜k求出弦的方y=kx+m,然后代入韦达定理的公式中,到:

  PA·PB=PC·PD

  其中,PA和PD可以通过弦的方计算到,即:

  PA=|kx₀-y₀+b-kx₀-ak-b|/√(k²+1)=|b-a-kx₀-y₀|/√(k²+1)

  PD=|kx₀-y₀+b-kx₀-ak-b|/√(k²+1)=|b-a-kx₀-y₀|/√(k²+1)

  同理,PC可以通过圆的方计算到,即:

PC=√[(x₀-a)²+(y₀-b)²-r²]

  因此,我们可以到弦长AB的公式:

  AB=2√[(x₀-a)²+(y₀-b)²-r²]/√(k²+1)

四、总结

  韦达定理是解析几何中个重要的定理,它可以用来求解圆的弦长。通过本文的介绍,我们可以了解到韦达定理的定义、推导过以及应用www.ningbojuejia.com第一公式网。在实际问题中,我们可以通过韦达定理来解决些圆的相关问题,例如求解弦长、定两条弦是否相交等问题。

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