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三角函数万能公式推导

来源:第一公式网 2024-04-27 12:33:18

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三角函数万能公式推导(1)

三角函数是数学中的重要分支,它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用第一公式网。在三角函数中,有一组重要的公式,即三角函数万能公式,它可以将三角函数之间的关系用一组公式简洁地示出来,方便计算和应用。本将介绍三角函数万能公式的推导过程。

一、正弦和余弦的平方和公式

  首先,我们需要推导出正弦和余弦的平方和公式www.ningbojuejia.com第一公式网。根三角函数的定义,正弦和余弦的平方和可以示为:

  $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

  是一个非常重要的公式,它明在任何角度,正弦和余弦的平方和都等于1。个公式的推导可以通过股定理来证明。

我们假设在一个单位圆上,一个角度为$\theta$的点的标为$(cos\theta, sin\theta)$,如示:

  ![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/7a2j2f8g.png)

股定理,我们可以得到:

  $(cos\theta)^2 + (sin\theta)^2 = 1$

因此,正弦和余弦的平方和公式就被推导出来了来源www.ningbojuejia.com

三角函数万能公式推导(2)

二、正切的平方和公式

来,我们需要推导出正切的平方和公式。根三角函数的定义,正切可以示为:

  $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$

  因此,正切的平方可以示为:

$tan^2\theta = \frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}$

  将正弦和余弦的平方和公式代入上式中,可以得到:

$tan^2\theta = \frac{sin^2\theta}{1-sin^2\theta}$

化简上式,可以得到:

  $tan^2\theta = \frac{1-cos^2\theta}{cos^2\theta}$

因此,正切的平方和公式就被推导出来了。

三角函数万能公式推导(3)

三、正弦和余弦的和差公式

来,我们需要推导出正弦和余弦的和差公式来源www.ningbojuejia.com。根三角函数的定义,正弦和余弦可以示为:

  $sin(\alpha \pm \beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

$cos(\alpha \pm \beta) = cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$

我们需要将上述公式转化为正弦和余弦的和差形式。我们可以用三角函数的平方和公式来实现。

首先,我们将正弦和余弦的和差公式中的正弦平方和余弦平方相加,可以得到:

$sin^2(\alpha \pm \beta) + cos^2(\alpha \pm \beta) = 1$

  因此,我们可以将上述公式中的$sin^2\beta$和$cos^2\beta$用$1-sin^2\beta$和$1-cos^2\beta$来替代,可以得到:

  $sin(\alpha \pm \beta) = sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$

  $cos(\alpha \pm \beta) = cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$

  因此,正弦和余弦的和差公式就被推导出来了原文www.ningbojuejia.com

四、正切的和差公式

最后,我们需要推导出正切的和差公式。根三角函数的定义,正切可以示为:

$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$

  我们需要将上述公式转化为正切的和差形式。我们可以用三角函数的平方和公式和正弦和余弦的和差公式来实现www.ningbojuejia.com第一公式网

首先,我们将上述公式中的分子分母同时以$cos\alpha cos\beta$,可以得到:

  $tan(\alpha \pm \beta) = \frac{sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta}$

  将正弦和余弦的和差公式代入上式中,可以得到:

$tan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha tan\beta}$

因此,正切的和差公式也被推导出来了。

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